First Group
(1) If $ A $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $, $ B $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} $, find $ BA + A^{2} $.
$ BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} $ , $ A^{2} $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $ , $ \therefore \; BA + A^{2} $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $(2) Solve the right-angled triangle ABC at B, where BC = 3 cm, AC = 5 cm.
$ AB $ $ = $ $ \sqrt{5^{2} - 3^{2}} $ $ = $ $ \sqrt{16} $ $ = $ $ 4 $ cm , $ \sin A $ $ = $ $ \dfrac{3}{5} $ $ \Rightarrow $ $ m(\angle A) $ $ = $ $ 37^{\circ} $ , $ m(\angle C) $ $ = $ $ 53^{\circ} $(3) Solve the right-angled triangle ABC at B, where AB = 10 cm, BC = 24 cm.
$ AC $ $ = $ $ \sqrt{10^{2} + 24^{2}} $ $ = $ $ \sqrt{676} $ $ = $ $ 26 $ cm , $ \tan A $ $ = $ $ \dfrac{24}{10} $ $ \Rightarrow $ $ m(\angle A) $ $ \approx $ $ 67^{\circ}23' $ , $ m(\angle C) $ $ \approx $ $ 22^{\circ}37' $(4) If $ \vec{A} $ $ = $ $ (2,\,4) $, $ \vec{B} $ $ = $ $ (6,\,7) $, find $ \bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| $.
$ \overrightarrow{AB} $ $ = $ $ (6-2,\;7-4) $ $ = $ $ (4,\;3) $ , $ \bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| $ $ = $ $ \sqrt{4^{2}+3^{2}} $ $ = $ $ \sqrt{25} $ $ = $ $ 5 $ units(5) ABCD is a parallelogram where A(0, 2), B(1, 2), C(2, 4). Find point D.
$ D $ $ = $ $ (x_{A}+x_{C}-x_{B},\;y_{A}+y_{C}-y_{B}) $ $ = $ $ (0+2-1,\;2+4-2) $ , $ \therefore \; D $ $ = $ $ (1,\;4) $Second Group
(1) If $ A $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $, $ B $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $, find $ A^{2} + BA $.
$ A^{2} $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} $ , $ BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $ , $ \therefore \; A^{2} + BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 7 & 18 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} $(2) Solve the right-angled triangle ABC at B, where BC = 8 cm, AC = 10 cm.
$ AB $ $ = $ $ \sqrt{10^{2} - 8^{2}} $ $ = $ $ \sqrt{36} $ $ = $ $ 6 $ cm , $ \sin A $ $ = $ $ \dfrac{8}{10} $ $ \Rightarrow $ $ m(\angle A) $ $ = $ $ 53^{\circ}8' $ , $ m(\angle C) $ $ = $ $ 36^{\circ}52' $(3) Solve the right-angled triangle ABC at B, where AB = 9 cm, BC = 12 cm.
$ AC $ $ = $ $ \sqrt{9^{2} + 12^{2}} $ $ = $ $ \sqrt{225} $ $ = $ $ 15 $ cm , $ \tan A $ $ = $ $ \dfrac{12}{9} $ $ = $ $ \dfrac{4}{3} $ $ \Rightarrow $ $ m(\angle A) $ $ = $ $ 53^{\circ}8' $ , $ m(\angle C) $ $ = $ $ 36^{\circ}52' $(4) If $ \vec{A} $ $ = $ $ (1,\,0) $, $ \vec{B} $ $ = $ $ (7,\,8) $, find $ \bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| $.
$ \overrightarrow{AB} $ $ = $ $ (7-1,\;8-0) $ $ = $ $ (6,\;8) $ , $ \bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| $ $ = $ $ \sqrt{6^{2}+8^{2}} $ $ = $ $ \sqrt{100} $ $ = $ $ 10 $ units(5) ABCD is a parallelogram where A(3, 1), B(1, 0), C(−2, −1). Find point D.
$ D $ $ = $ $ (3+(-2)-1,\;1+(-1)-0) $ $ = $ $ (0,\;0) $ , $ \therefore \; D $ $ = $ $ (0,\;0) $Third Group
(1) If $ A $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $, $ B $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $, find $ B^{2} + BA $.
$ B^{2} $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} $ , $ BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $ , $ \therefore \; B^{2} + BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} $(2) Solve the right-angled triangle ABC at B, where BC = 8 cm, AC = 17 cm.
$ AB $ $ = $ $ \sqrt{17^{2} - 8^{2}} $ $ = $ $ \sqrt{225} $ $ = $ $ 15 $ cm , $ \sin A $ $ = $ $ \dfrac{8}{17} $ $ \Rightarrow $ $ m(\angle A) $ $ \approx $ $ 28^{\circ}4' $ , $ m(\angle C) $ $ \approx $ $ 61^{\circ}56' $(3) Solve the right-angled triangle ABC at B, where AB = 24 cm, BC = 7 cm.
$ AC $ $ = $ $ \sqrt{24^{2} + 7^{2}} $ $ = $ $ \sqrt{625} $ $ = $ $ 25 $ cm , $ \tan A $ $ = $ $ \dfrac{7}{24} $ $ \Rightarrow $ $ m(\angle A) $ $ \approx $ $ 16^{\circ}16' $ , $ m(\angle C) $ $ \approx $ $ 73^{\circ}44' $(4) If $ \vec{A} $ $ = $ $ (4,\,3) $, $ \vec{B} $ $ = $ $ (8,\,6) $, find $ \bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| $.
$ \overrightarrow{AB} $ $ = $ $ (8-4,\;6-3) $ $ = $ $ (4,\;3) $ , $ \bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| $ $ = $ $ \sqrt{4^{2}+3^{2}} $ $ = $ $ \sqrt{25} $ $ = $ $ 5 $ units(5) ABCD is a parallelogram where A(1, 5), B(0, 2), C(3, 4). Find point D.
$ D $ $ = $ $ (1+3-0,\;5+4-2) $ $ = $ $ (4,\;7) $ , $ \therefore \; D $ $ = $ $ (4,\;7) $Mastery & Detailed Explanations
01 First Group: In-Depth Analysis
Q1: Computing $ BA + A^{2} $ step by step
$ BA $: multiply each row of $B$ by each column of $A$:
$ BA_{11} $ $ = $ $ (1)(0)+(0)(1) $ $ = $ $ 0 $ $\quad$ $ BA_{12} $ $ = $ $ (1)(1)+(0)(-1) $ $ = $ $ 1 $
$ BA_{21} $ $ = $ $ (-2)(0)+(2)(1) $ $ = $ $ 2 $ $\quad$ $ BA_{22} $ $ = $ $ (-2)(1)+(2)(-1) $ $ = $ $ -4 $
$ \Rightarrow BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix}0&1\\2&-4\end{pmatrix} $
$ A^{2} $: multiply $A$ by itself:
$ A^{2}_{11} $ $ = $ $ (0)(0)+(1)(1) $ $ = $ $ 1 $ $\quad$ $ A^{2}_{12} $ $ = $ $ (0)(1)+(1)(-1) $ $ = $ $ -1 $
$ A^{2}_{21} $ $ = $ $ (1)(0)+(-1)(1) $ $ = $ $ -1 $ $\quad$ $ A^{2}_{22} $ $ = $ $ (1)(1)+(-1)(-1) $ $ = $ $ 2 $
$ \Rightarrow A^{2} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} $
$ BA + A^{2} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}0+1 & 1+(-1)\\2+(-1) & -4+2\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}1&0\\1&-2\end{pmatrix} $
Q5: Parallelogram — Diagonal Midpoint Rule
In any parallelogram ABCD, diagonals bisect each other:
$ \text{Midpoint}(AC) $ $ = $ $ \text{Midpoint}(BD) $
$ \Rightarrow D $ $ = $ $ (x_{A}+x_{C}-x_{B},\;y_{A}+y_{C}-y_{B}) $
Here: $ D $ $ = $ $ (0+2-1,\;2+4-2) $ $ = $ $ (1,\;4) $ ✓
"Find D in parallelogram ABCD where A(2,3), B(5,1), C(7,4)."
$ D $ $ = $ $ (2+7-5,\;3+4-1) $ $ = $ $ (4,\;6) $
02 Second Group: Key Concepts
Q1: Computing $ A^{2} + BA $ step by step
$ A^{2} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}2&3\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\-1&0\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}4-3&6+0\\-2+0&-3+0\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}1&6\\-2&-3\end{pmatrix} $
$ BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix}4&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\-1&0\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}8-2&12+0\\0-1&0+0\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}6&12\\-1&0\end{pmatrix} $
$ A^{2}+BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix}7&18\\-3&-3\end{pmatrix} $
Q2 & Q3: Right Triangle — Which Ratio to Use?
► Two legs known → Pythagoras for hypotenuse, then $\tan$ for angle.
► Leg + hypotenuse known → Pythagoras for missing leg, then $\sin$ or $\cos$.
$ \sin\theta $ $ = $ $ \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}} $ $\quad$
$ \cos\theta $ $ = $ $ \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}} $ $\quad$
$ \tan\theta $ $ = $ $ \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} $
"Solve right triangle ABC at B where AB = 5, BC = 12."
$ AC $ $ = $ $ \sqrt{25+144} $ $ = $ $ 13 $ cm , $ \tan A $ $ = $ $ \tfrac{12}{5} $ $ \Rightarrow $ $ m(\angle A) $ $ \approx $ $ 67^{\circ}23' $ , $ m(\angle C) $ $ \approx $ $ 22^{\circ}37' $
03 Third Group: Advanced Steps
Q1: Computing $ B^{2} + BA $ step by step
$ B^{2} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}4-1&2+1\\-2-1&-1+1\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}3&3\\-3&0\end{pmatrix} $
$ BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix}2&1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}0-1&2+0\\0-1&-1+0\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}-1&2\\-1&-1\end{pmatrix} $
$ B^{2}+BA $ $ = $ $ \begin{pmatrix}3-1&3+2\\-3-1&0-1\end{pmatrix} $ $ = $ $ \begin{pmatrix}2&5\\-4&-1\end{pmatrix} $
Q2 & Q3: Pythagorean Triples to Memorize
► 3-4-5 and multiples: 6-8-10, 9-12-15 …
► 5-12-13 , 8-15-17 , 7-24-25 ,
20-21-29 …
Q2 uses 8-15-17 → $ AB $ $ = $ $ 15 $ ✓
Q3 uses 7-24-25 → $ AC $ $ = $ $ 25 $ ✓
"Find $ \bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| $ if A(1,1), B(4,5)."
$ \overrightarrow{AB} $ $ = $ $ (3,4) $ $ \Rightarrow $ $ \bigl\|\overrightarrow{AB}\bigr\| $ $ = $ $ \sqrt{9+16} $ $ = $ $ 5 $ units